Das -Modell

Wir benutzen kalligraphische Buchstaben, um das klassische -Model mit den Kompartimenten “Suszeptible” (t), “Infizierte” (t), and “Resistente” (t), insbesondere, um Verwechselung mit der Basisreproduktionszahl R₀ = R(0) und der (effektiven) Reproduktionszahl R = R_t = R(t) zu vermeiden, welche beide in Fachliteratur und öffentlichen Medien weit verbreitet sind.

Die originalen Differentialgleichungen des klassischen SIR-Modells lauten:

S˙ = - β-IS--- (1) N - 1 ˙I = β-IS---- γI (2) N - 1 ˙R = γI (3) S (0) = N - 1, I(0) = 1, R(0) = 0 (4)

Hierbei stellt

(t) die Gesamtpropulationsgröße dar, für welche man annehme, dass sie konstant für jeden Zeitpunkt t konstant bleibe. Ferner kennzeichnet β = β(t) die Infektionsrate, welche auch von den “Hygienemaßnahmen” des öffentlichen Gesundheitswesens abhängt (wie z.B. Maskenpflicht, Abstandhalten etc.). γ is die Resistenzentstehungsrate, ihr Kehrbruch die Generationszeit T_G : = γ^-1 > 0, d.h. die erwartete Zeitdauer, welche ein Infizierter benötigt, ein anderes Individuum anzustecken, gemessen seit Beginn der eigenen Infektion. In unserem Modell wird angenommen dass T_G auch die gesamte erwartete Infektiositätsdauer eines Individuums darstellt, weil es in unserem vereinfachten Modell weder ein Kompartiment “infiziert, aber noch nicht infektiös” gibt (die sogenannten “Exponierten” im

-models), noch irgend ein “Quarantäne”-Kompartiment.

Die Basisreproduktionszahl lautet R₀ : = βT_G, d.h. die erwartete Anzahl an zuvor gesunden Individuen, welches ein einzelnes infiziertes Individuum während der gesamten Dauer seiner Infektiosität, nämlich T_G, ansteckt; dabei gelte die hypothetische Annahme, dass während der gesamten Zeit T_G konstant - 1 betrüge. Man beachte, dass diese hypothetische Annahme in realen Epidemien niemals wahr werden kann, weil während jedes noch so kleinen Zeitintervalls t ∈ [0;T_G] das “Suszeptiblen”-Kompartiment (t) streng monoton fällt (was sich leicht durch Gleichung (1) nachvollziehen lässt).